En COVID-19-model med adfærd kan fortælle os ret meget

Den matematiske SIR-model kan – som vi har været inde på tidligere – trods sin enkelhed give meget interessante resultater om en epidemis udvikling. Men den har som tidligere nævnt sine begrænsninger. Én af dem er, at den ikke inkluderer adfærd – at borgerne reagerer på epidemien. Hvad sker der så?

Netop en markant ændring i adfærden har kendetegnet COVID-19-epidemien. I en grad så det er kommet bag på epidemiologerne i Seruminstituttet. Det er den frivillige sociale distancering mere end den tvungne nedlukning, som har fået transmissionsraten til at falde. Det effektive smittetryk (Re) er faldet til under én, så hver smittet selv smitter mindre end én mere. Fortsatte det, ville sygdommen til sidste dø ud. Men vil den det?

Og bør vi være overraskede over, at der efter en periode med smittetryk under én i mange lande nu dukker eksempler op på rater over én – f.eks. i Tyskland?

Lad os prøve at se på, hvad der sker, når vi indbygger adfærd i modellen. Resultatet er i første omgang overraskende enkelt.

I figuren har jeg opstillet en adfærdsrelation og en ligevægtsbetingelse.

Adfærdsrelationen indebærer, at folk reagerer på risikoen for at blive smittet. Det er afbilledet ved den faldende kurve. På førsteaksen er angivet andelen af smittede i befolkningen (I). Infektionsniveauet bestemmer, hvor stor risikoen er for at blive smittet. Er mange smittet, er risikoen stor – og omvendt. På andenaksen er angivet det effektive smittetryk (transmissionsrate gange andel modtagelige, eller R gange S). Kurven viser, at en høj smitterisiko fører til stor social distancering og dermed lavt smittetryk – og omvendt. I figuren er kurven lineær, men det behøver den ikke være. Blot er det forventeligt, at der som sagt er en negativ adfærdsmæssig sammenhæng mellem smittetryk og infektionsniveau. Vi passer yderligere på, jo mere risikable de sociale kontakter er.

Den anden kurve er en enkel, men vigtig ligevægtsbetingelse. Hvis adfærden skal stabilisere sig, kræver det, at infektionsniveauet er konstant – ellers ændrer folk adfærd. Og infektionsniveauet kan kun være konstant over tid, hvis smittetrykket er én. Uanset infektionsniveauet, kan det kun være stabilt, hvis smittetrykket er én.

Modellens forudsigelse er derfor, at smittetrykket vil nærme sig én og stabilisere sig på et dynamisk ligevægtsniveau for infektionsniveauet (en steady state, også kaldet). Adfærden bestemmer i længden ikke smittetrykket, men infektionsniveauet. I figuren er det i punktet A, hvor infektionsniveauet er I* og smittetrykket (RS) er én.

Vi har allerede de første konklusioner:

1. I en model med adfærd nærmer smittetrykket sig én. Forskelle i adfærd fører ikke til ændringer i smittetryk, men i ligevægts-infektionsniveau.

2. I takt med at andelen af immune (1-S) stiger, vil R falde tilsvarende. R er transmissionsraten, mens S er antallet af modtagelige. Da R gange S hele tiden skal være én i ligevægt, må folk ”kompensere” for den voksende immunitet med at reducere den sociale distancering tilsvarende. Folk reagerer altså på den voksende immunitet med at blive stadigt mindre forsigtige.

3. Ligevægtsinfektionsniveauet begynder først at falde, når antallet af smittede når flokimmunitetsniveauet. Flokimmunitet indtræffer, når R0 gange S er én. Men R kan ikke stige over R0. Så når S bliver lille nok, vil smittetrykket begynde at aftage, og dermed vil infektionsniveauet også aftage. Sygdommen vil dø ud, når den har nået flokimmunitet. Alternativt skal der ske noget andet – f.eks. opdagelsen af en vaccine.

Disse konklusioner indebærer også, at den ”over shooting”, der er i simple SIR-modeller (så en meget større andel end det, der skal til for at opnå flokimmunitet, bliver smittet) er et meget mindre problem, når afærd inddrages.

Nu kommer vi til nogle lidt mere komplicerede spørgsmål.

Hidtil har jeg antaget, at modellen er i konstant ligevægt over tid. Det kræver, at folk hele tiden reagerer på det korrekte, aktuelle infektionsniveau. Men hvad hvis de kun kan observere det med en vis forsinkelse? Nogle af de mest håndfaste observerbare mål er antallet af dødsfald eller indlagte på intensivafdelinger. Men det sker forsinket i forhold udsving i infektionsniveauet. Hvis folk således reagerer på historisk information, kan det føre til, at det faktiske infektionsniveau svinger frem og tilbage omkring ligevægtsniveauet. Vi har tilført modellen korttidsdynamik. Vi kan altså konkludere:

Man kan forestille sig så store trægheder, at infektionsniveauet aldrig falder til ro, før epidemien er ovre (den ultimative ”træghed”, at folk aldrig reviderer deres R, men blot fastholder transmissionsraten på R0, giver den oprindelige SIR-model, hvor infektionsniveauet stiger, lige ind til S bliver lille nok omkring flokimmunitet). Ved perfekt forudseenhed er smittetrykket konstant én og infektionsniveauet altid I*, indtil flokimmunitet.

Økonomisk videnskab har beskæftiget sig overordentligt meget med, hvordan forventninger dannes, og hvordan de kan påvirke kortsigtsdynamik – f.eks. den dynamik, der optræder ved konjunkturudsving. Det vil desværre føre for vidt at dække dette område her. Men det kan noteres, at simple, forudsigelige uligevægte har en del imod sig. Hvis uligevægte er forudsigelige, forsvinder deres eksistensbetingelse, som netop er, at der mangler information, og at nogle bliver overraskede. Derfor er det ikke særlig sandsynligt, at der kan udvikles en model, som kan forudsige kortsigtsdynamikken i corona-epidemien heller.

Konklusion 4) indebærer, at man skal være yderst varsom med at komme til at overfortolke en udvikling, hvor smittetrykket afviger meget fra én. Ligesom Seruminstituttet blev overrasket over, hvor hurtigt smittetrykket faldt som følge af adfærdsændringer, bør man vare sig med at blive for pessimistisk ved en stigning i smittetrykket. Tværtimod er der grund til at forvente modreaktioner, når smittetrykket afviger fra én.

Adfærd i SIR-modellen kan have stor betydning for, hvordan politiske tiltag virker. Grundlæggende kan man sige, at politiske tiltag – f.eks. at lukke dele af økonomien ned – som ikke flytter på adfærdskurven, ikke vil have mere end forbigående betydning. Hvis man skubber kombinationen af smittetryk og infektionsniveau uden for ligevægten, vil adfærden trække os tilbage mod ligevægten.

5. Politiske tiltag, som ikke påvirker ligevægtsadfærden, har kun midlertidig påvirkning på infektionsniveauet. Bevægelser langs adfærdskurven hjælper altså ikke på epidemiens forløb andet end kortvarigt.

Det er illustreret i figuren nedenfor, hvor vi antager, at en given politik kan sænke infektionsniveauet til Ip. Det lavere infektionsniveau vil imidlertid udløse mindre forsigtighed, så smittetrykket stiger, og vi når punktet B. Derfra vil det højere smittetryk gradvist øge infektionsraten, hvilket på sin side vil sænke smittetrykket lidt igen – indtil vi er tilbage i ligevægten i punkt A.

Det forhold, at borgerne kompenserer for en politik, som nedbringer risikoen, ved at opføre sig mere risikabelt, er velkendt som Peltzman-effekten.

Man kan dog godt forestille sig, at politiske tiltag kan påvirke ligevægtsforløbet. I så fald skal de få adfærdskurven til at forskyde sig, så den skærer den anden kurve i et nyt ligevægtspunkt:

6. Politiske tiltag, der skal have vedvarende effekt på infektionsraten, kræver en forskydning af adfærdskurven.

Det er illustreret i figuren nedenfor, hvor det nye skæringspunkt er C og den nye ligevægtsinfektionsrate er I**

Et eksempel på en intervention, der kan have forskudt adfærdsrelationen, er kravene om lettilgængelig håndsprit allevegne, som har sænket omkostningerne ved god hygiejne.

Men det er ikke på forhånd klart, i hvilken retning de politiske tiltag vil forskyde adfærdskurven. Man kan både forestille sig, at de politiske tiltag fungerer som substitutter og komplementer til den frivillige sociale distancering. Altså at den frivillige sociale distancering enten svækker eller forstærker effekten af de politiske tiltag.

7. Politiske tiltag kan både være substitutter og komplementer til frivillig social distancering, så de enten modvirker eller forstærker hinanden.

Det er muligt, at den tvungne nedlukning oprindelig har virket som en advarsel til befolkningen om at tage sygdommen alvorligt – og at de dermed var substitutter i begyndelsen. Den kan være blevet forstærket af, at når samfundet alligevel er lukket ned, så får den enkelte ikke så meget ud af at gå ud. Jeg har selv haft en formodning om, at det forhold sig sådan i begyndelsen af nedlukningen, men som bl.a. Christian og Jonas har været inde på her på bloggen, så er der faktisk tegn på, at distanceringen har leaded, ikke lagget nedlukningen. Så jeg kan meget vel tage fejl.

Der er til gengæld grund til at tro, at frivillig social distancering og tvungen nedlukning fungere som substitutter på lidt længere sigt – og at vi altså ser en Peltzman-effekt. Grundideen er, at hvis et givent infektionsniveau tillader os et ”smittebudget”, så er der mere at bruge af, når infektionsniveauet falder. Bemærk at det ikke behøver at betyde, at tvungen nedlukning i længden er virkningsløs; blot at social distancering spiser en del af dens effekt.

Hvor længe vil epidemien vare ifølge denne model? Som udgangspunkt vil den trække ud, indtil tilpas mange har været smittet til, at vi opnår flokimmunitet, eller at der kommer en virksom vaccine. Som i den basale SIR-model betyder en reduktion i infektionsraten over tid, at forløbet i stedet trækker længere ud.

Men det er ikke teoretisk udelukket, at epidemien kan dø ud. Det er muligt, at adfærdsvirkningen er så stærk, at smittetrykket aldrig kommer over én igen. I så fald vil sygdommen dø ud. Det er i figuren ensbetydende med, at de to kurver ikke skærer hinanden, og at infektionsniveauet ikke har et dynamisk ligevægtsniveau, men blot vil skrumpe ind, indtil epidemien er væk. Man kan forestille sig, at politiske tiltag kan være med til at tvinge adfærdseffekten op, så det sker.

8. Hvis der eksisterer et ligevægts-infektionsniveau, vil sygdommen svinge omkring dette niveau og et smittetryk omkring én, indtil flokimmunitet eller der findes en vaccine. Ellers vil sygdommen uddød før.

Problemet er dog, at sygdommen først er endelig uddød, når den er globalt uddød, eller at lokale udbrud kan inddæmmes tilpas hurtigt og effektivt til at forhindre spredning. Og problemet er videre, at adfærdsmodellen gør begge dele mindre sandsynligt, fordi adfærden grundlæggende set indebærer, at ekstreme bevægelser bliver udglattet. Det gælder også, når sygdommen aftager. Her vil vi blive mindre forsigtige, og det kan give sygdommen chance for at vende tilbage.

Og så den måske ubehageligste side ved alt dette: Det er muligt, at sygdommen – ligesom influenza – muterer over tid, så immunitet ikke er permanent. Det kan ikke udelukkes, at sygdommen vil vende tilbage i ny skikkelse igen og igen. I så fald kan man håbe på, at den også aftager i farlighed. Også det hænger sammen med adfærd: Hvis vi reagerer kraftigere over for de farligere varianter end de ufarlige, så vil evolutionen begunstige de mindre farlige varianter:

9. Adfærd kan fremme evolutionen af mindre farlige varianter af virus, hvis folk reagerer kraftigere på mere farlige varianter.

Lad os slutte i denne lidt mere optimistiske tone – selv om det er en begrænset trøst. Sygdommen kan blive et tilbagevendende fænomen mange år i endnu. Og jo mindre vi gør os det klart, og jo mere vi tror, at det er ovre lige som lidt, desto større er risikoen for en adfærdsreaktion, som kan udløse en stærk tilbagevenden.

Blogindlæg udgivet på punditokraterne.dk d. 25. juni 2020.